統雄-統計神掌易筋經

神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁

符號意義:統雄快訣 延伸閱讀 進階議題 警示訊息

為什麼對統計有挫折感？

統計不是狹義的數學‧是一種「逆向的思想方法」！

統計的2大類型

推論統計的5大關卡

隨機性-樣本數-抽樣方法

機率分配與常態分配

中央極限定理

顯著性檢定：逆向思考法

雙尾與單尾檢定

型1錯誤 Type Ⅰ error 與 型2錯誤 Type Ⅱ error

立刻推論實作練習

常態分配：連續資料的應用實作
二項分配：二元資料的應用實作
t分配：連續資料小樣本的應用實作與適用性檢討
討論：為何社會上一般調查不準的原因？

統計符號與英讀

統計方法的選擇

資料型態

理論類型

統計方法SPSS應用篇

為什麼對統計有挫折感？

不落實、不生活化

太周詳，反而失去階段性、優先性

有些剪貼拼湊、問題叢生

缺乏計量基礎，造成GIGO：垃圾進出

-所以，不完全是你的責任

-首先，要喚回你的信心

你不是在90分鐘內就學會微積分了嗎？

打 3 掌‧通二脈

統計不是數學，是一種「逆向的思想方法」！

統計的2大類型

推論統計的5大關卡

統計不是狹義的數學

不同的知識類型

推論統計與描述統計有別，也不是狹義的Euclid-Newton數學。

對象不一樣、預測的目標不一樣、知識的解釋也不一樣。

燒開水

左右2壺等量生水。

左邊火大，右邊火小。

發現左邊比右邊先燒開。

使用數學工具，可以證明多少單位的火量，可以在多少時間、影響多少單位的水。而且可以預測以後燒水的結果，並屢試不爽。

我們觀察到當X（加熱）增加時，Y（水溫）也增加，Euclid-Newton數學能夠幫我們分析，X和Y的因果關係。

澆神水

左右2片等大草坪。

左邊澆「大雄活佛」加持過的快長神水，右邊澆普通水。

一段時間以後，發現左邊的草比右邊的草長。

使用統計工具，卻是可以證明神水並沒有真正的效果，看到的長、不是長。

我們觀察到當X（加神水）增加時，Y（草長）也增加，統計卻是能夠幫我們分析，X和Y兩者沒有關係。

統計是一種「逆向的思想方法」！

草的長度天生就有不同，和澆不澆神水沒有關係。左右兩邊草坪絕不會剛好一樣長，一定有一邊長一點。神棍澆神水其實是賭博，而且獲勝率高達2分之1，猜中了也毫無神奇之處。

所以，除了「哪邊長」之外，『重要』的是「長多少」？一般認為在2.5個-或2個標準差之內的，都不能算重要。當然，如果一邊的草長真的超過以上標準，那神水也許真的有點道理。

另外，在計算草長的時候，人類很少是一根一根計算，而是抽樣計算，而抽樣過程中可能因為發生抽樣誤差（尤其是樣本數不足的情形）而「算錯了」。如果可能算錯，特稱「未達顯著水準」。而即使「顯著」（沒算錯），也不一定『重要』，下文會再詳細說明。

統計的2大類型

敘述統計：對所收集到樣本的數字記錄與分析

僅能解釋樣本的現象，不能引申為全體。只要研究者觀念與界定清楚，仍有參考意義，並非沒有價值。

推論統計：第2類知識：從樣本推論母群（包括沒有觀察到的全體樣本）的量化資料

奠基者皮爾生命名為「生物計量法」，反映他很清楚這套方法的適用前提與範圍。但進入教育體系之後，概化為廣泛的、針對所有觀察對象的「統計」，反而易生混淆。

-知易行難，人人都以為知道什麼是推論，真的知道嗎？

一般的民調、市調：聲望調查、滿意度調查…死無對證。

選舉調查：一番兩瞪眼：以「2012 總統選舉調查」為例

為什麼所有坊間民調公司都不準？為什麼只有統雄老師準？

待會請你告訴我。

推論統計的5大關卡

在「收集資料」階段就發生的活動：

3大前提要OK：隨機性、樣本數、抽樣方法

抽樣原理的招親實驗證明與結論說明

樣本必須具備隨機性

樣本數

傳統觀點：30以上。對生理或高能物理研究或可。

統雄老師建議：行為研究調查法200以上。

抽樣方法：抽選樣本戶、戶中抽樣

-明顯不符前提，不要推論

在「分析資料」階段的推論基礎：

2大基礎觀念要Victory：常態分配、與中央極限定理（樣本平均數分配）

可推論的理由基於：母群統計量會在樣本統計量的一定區間之內

常態分配是什麼？

推論統計基礎：中央極限定理

機率的估計值必須在「大數法則」下，才會實現；同時在「大數」時，觀察樣本會呈現「中央極限」現象，這就是我們解釋推論統計的基礎。

中央極限定理(Central limit theorem)係指從平均數為μ ，標準差為σ的母群中，隨機地抽取大小為 n 的獨立樣本。當樣本數很大時，其樣本平均數減掉母群平均數、再除以樣本標準差（特稱為標準誤），將會趨近平均數為0，標準差為1的常態分配。

也就是說：所有樣本平均數的集合，會形成一個「虛擬的」「樣本平均數分配的常態分配」。

其定義公式為：

	平均數	標準差
觀察對象,樣本		s
（虛擬的） 樣本分配 的標準差		特稱標準誤 Standard error P (Degree of confidence)為抽樣把握 ±Z 之間是為 Confidence interval
母群-事實不知的	μ	σ
作推論的參數 (^ 在此表示 estimate of)	=
母群-估計的區間	μ=±E

定義公式就是：

- μ =E, E為觀察值與真實值的差距，即誤差。

Z﹦誤差相當於幾個「標準誤」的值

定義公式移項以後就是：

若 σ不知，則用 代替 σ

(註：有些文獻上E作d）

中央極限定理的逆向思考應用

以上讀得一頭霧水嗎？很正常！那就是一般教科書呈現的方式。

別慌！統雄神掌中央極限定理圖解來了！

全球獨一無二的視覺解說

統雄圖解：母群（白色）的平均數 μ 為0（綠色），在其中任意抽出樣本，其平均數為（黑色），其觀察值不為0，是因為抽樣誤差所造成，事實上還是為0；而且所有的樣本，也會呈現常態分配（黃色）。但如果抽到（紅色），其觀察值與母群相同的可能性已經小於百分之5或百分之1，這時，我們就推論樣本可能和母群不一樣。

統雄圖解的母群因教學目的，是以常態分配為例，但母群即使不是常態分配，其「樣本平均數分配」，一樣會是「常態分配」！

許多統計方法，前提要求母群為常態分配，不可與此處觀念混淆。

1組樣本自母群隨機抽出，其特性應與母群一樣。

但實務上，樣本的平均數和母群的平均數不會完全一樣，而會呈常態分配差異。

這不是真的差異，而是抽樣過程的必然：有95%的樣本平均數和母群平均數差異最高可到±2E、有99%的樣本平均數和母群差異最高可到 ±2.5E，其實它們和母群完全相同。

顯著性檢定：逆向思考法

1組樣本自母群隨機/等機率抽出，其特性應與母群一樣。
但實務上，樣本的平均數和母群的平均數不會完全一樣，而會呈常態分配差異。
這不是真的差異，而是抽樣過程的必然：有95%的樣本平均數和母群平均數差異最高可到±2E、有99%的樣本平均數和母群差異最高可到 ±2.5E，其實它們和母群完全相同。

所以，統計學開拓者 Fisher 就建立了「成對」「統計假設」的概念：
統計假設由1對統計表示式組成，其專業符號為：

H₀：假設相同；如「母群的平均數(μ)」﹦「樣本的平均數( )」，是為「反面假設」。
H₁：假設不相同；如「母群的平均數(μ)」≠「樣本的平均數( )」，是為「正面假設」。

研究者優先假設H₀：「樣本與母群相同」，如果「樣本的平均數( )」在「母群的平均數(μ)」的 2 個標準誤之內，即樣本看似與母群不同，但有95％的可能，其實與母群相同。同理，如果在 2.5 個標準誤之內，樣本還有99％的可能，仍與母群相同。
此時，研究者就「接受」H₀，推論「樣本與母群相同」。

但如果「樣本的平均數( )」在「母群的平均數(μ)」的 2 個標準誤之外，即樣本仍與母群相同的機率已低於5％。同理，如果在 2.5 個標準誤之外，樣本還與母群相同的機率更低於1％。只作1次實驗，發生「樣本與母群相同」的可能性就偏低。
此時，研究者就「拒絕」H₀，而改為「接受」H₁，推論「樣本與母群不同」。

經由中央極限定理，可以推導：若無法在高機率下證明「樣本與母群相同」，則應可「反證」「樣本與母群不同」。

這也是統計假設必須是「反證法」的原因，這種逆向思考法，就稱為：顯著性檢定。

如果到達95％的把握(β)-相反就是低於5％的風險(α)-專業上稱為「到達.05顯著水準」；同理，99％的把握，專業上則稱為「到達.01顯著水準」，可能「樣本與母群不同」。

如果到達95％的把握(β)-相反就是低於5％的風險(α)-專業上稱為「到達.05顯著水準」；同理，99％的把握，專業上則稱為「到達.01顯著水準」，可能「樣本與母群不同」。

以澆神水實驗的「草長」為例：黃色鐘型曲線內的面積，表示每次實驗，草長的平均數，黃色鐘型曲線的標準差(Z)，特稱為標準誤(E)。每次實驗，草長的平均數在平均數正負2個、或2.5個標準誤內（視把握度要求多大），常視為與母群平均數（綠線）相同，亦即「樣本不為0，母群為0」。

中央極限定理的功能：可否推論

衡量樣本和母群的差異是否到達「顯著水準」。

「顯著水準」就是檢定「樣本數會不會太少」，觀察值是否是抽樣誤差所造成的。也所以，若未到達顯著水準，就沒有推論的意義。

雙尾與單尾檢定

本圖解將「把握」放中間，太大與太小的樣本平均數都視為到達顯著水準，稱為「雙尾檢定」。如果只檢定太大、或只檢定太小的樣本，則稱為「單尾檢定」。

型1錯誤 Type Ⅰ error 與 型2錯誤 Type Ⅱ error

不顯著就拒絕的方法，稱為避免犯「型1錯誤(Type Ⅰ error)」：把事實上樣本與母群相同，誤為與母群不同。
但如果事實上樣本與母群是有差異，但被錯誤拒絕了，則稱為犯「型2錯誤(Type Ⅱ error)」。即樣本與母群不同，卻誤為與母群相同。

研究均以保守為先，故通常避免第一類錯誤。這是由聶曼（Jerzy Neyman）和伊根．皮爾遜（Egon Pearson, 卡爾．皮爾遜之子）所共同建議的觀念。 

當然，「顯著水準」其實是灰階現象，訂定絕對切點有其困難；但常態分配在1個標準差點，有「反曲」-斜率正負相反現象，所以，在標準差整點切割已經是人為的、相對的最佳選擇。

不顯著就拒絕的方法，稱為避免犯「第一類錯誤(Type Ⅰ error)」；但如果事實上是有差異，但被錯誤拒絕了，則稱為犯「第二類錯誤(Type Ⅱ error)」。研究均以保守為先，故通常避免第一類錯誤。這是由聶曼（Jerzy Neyman）和伊根．皮爾遜（Egon Pearson, 卡爾．皮爾遜之子）所共同建議的觀念。

中央極限定理是由「大數定律（又稱大數法則，Law of large numbers）」所發展出來的，意指數量越多，則其平均就越趨近期望值。最早是由瑞士 Jacob Bernoulli （雅客‧博努力）所提出來的「博努力實驗 (Bernoulli Trail)」，就是投幣極多次，正反面出現的比例，各為50％，這是以二元資料的實驗證明，後人又發展至連續資料的證明。

在數學、統計、甚至物理研究上，許多地方會出現 Bernoulli 的名字，但不是同一個博努力，而是「博努力家族」，雅客與其 2 個弟弟是第一代，其後至少 7 代都有出現著名的博努力，而多半出自 3 弟 Johann Bernoulli 雅漢後代。在政治世家奪權鬥爭不息，而在這個學術世家，為創作爭名也經常上演，不僅兄弟爭，連父子也爭，雅漢還和嫉妒天才兒子 Daniel Bernoulli 丹牛爭，和兒子斷絕關係。

丹牛最著名的是博努力定律（Bernoulli's principle ），亦即流體力學的基礎定律。不過，統雄老師特別推薦他的「預期效用論（Expected Utility Theory）」，開啟了現代計量經濟學，也是人類行為研究的開拓性思想。

立刻推論實作練習

根據以上推論統計基礎，驗證理論是否成立的過程，稱為統計假設檢定。

在這個過程中所欲驗證的理論，特稱為「（統計）假設」，以統計參數（平均數、標準差…）形式表現，並以反面（虛無）假設、正面（對立）假設兩者，成對出現。

常態分配：連續資料的應用實作

常態分配檢定，若用手算太複雜，所以我們採用：

線上常態分配計算器

估計Z值：把握或風險機率（顯著水準）

tail就是風險區，比較雙尾與單尾。平均數至Z，就是把握區，比較單側與雙側。

改變平均數、標準差，觀察其差異。

估計把握或風險機率（顯著水準）：已知Z值

tail就是風險區，比較雙尾與單尾。平均數至Z，就是把握區，比較單側與雙側。

改變平均數、標準差，觀察其差異。

二項分配：二元資料的應用實作

二項分配檢定，用手算尚稱簡便，所以我們採用查表與手機計算機或個人電腦小算盤實作，經由親身體驗，提高對檢定邏輯的理解與記憶力。 

二元資料（二項分配）的應用範例

二元資料（二項分配）的樣本數決策表

設二元資料的百分比為P

令：q=1-p,

則其標準誤為：√(p*q)/ n 故：

估計誤差：已知需求把握（機率）、變異數、樣本數

若 n=1024 p=.4 q=.6 Z=2 (即P≒.95)，則 E=±0.03

估計樣本數：已知需求把握（機率）、變異數、可接受誤差。利用移項後之公訴如下。

…其他自行練習，包括 Z=2.5 (即P≒ .99)

精確估計時，P=.95, 則 Z=1.96; P=.99, 則 Z=2.58

利用「小算盤」方法：開根號 = X^Y = X^(0.5)

線上二項分配計算器：求誤差、求樣本數

t分配與t檢定：小樣本的檢定與適用性檢討

另以專章說明。

討論：為何社會上一般坊間/媒體調查不準的原因？

看看坊間民調的服務方式

這家是商業競爭力較高，有勇氣把作法與報告公開者，其他掩掩藏藏的，就不談了。

再看看媒體民調的調查報告

可參酌線上二項分配計算器：求誤差

媒體長期的民調報導，固然有服務的善意，但這種不精確的調查報告樣版，也在潛移默化中，形成了誤以為真的「社會相信」。

坊間/媒體調查不準的常見原因

不知道什麼是「隨機」；不知道什麼是「標準誤」；不知道什麼是中央極限定理；不知道「顯著」只是反映「樣本數」大小，和「重要」沒有必然關係。

學術調查也有不準‧30 秒揭穿國王的新衣！

不是只有坊間調查不準，因為坊間民調只作初等統計。

學術調查常作高等統計，更眼花瞭亂、混水摸魚的問題可能更大！

未來我們更將展示更多國際著名期刊、高引用論文的嚴重統計錯誤，3 0秒揭穿國王的新衣！

統計符號與英讀

統計常用符號與其英語讀法，及進一步的參考，請按這裡。

統計方法的選擇

統計方法的選擇，基於2大條件：

1.資料型態

2.理論類型

統計與理論建構篇

基本統計方法應用-SPSS篇