應變項為連續資料之差異分析
詮釋篇
One-way ANOVA: Interpretation
神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁
符號意義:
統雄快訣
延伸閱讀
進階議題
警示訊息
ANOVA 比對 Planned contrast 的趨勢分析 Trend Analysis
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資料分析的程序：變異數分析適用連續資料之差異分析，雙變項分析或多變項分析均可。介述：F分配、單因子變異數分析的理論敘述、差異的假設檢定、ANOVA的報告方法、顯著水準是什麼意思、多重事後比較(Multiple post hoc comparison)。以及：雙因子/多因子變異數分析、什麼是 Corrected Model、什麼是 Corrected Total、什麼是固定效果模式、與什麼是隨機效果模式。下載SPSS範例，進行實作。 |
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連續資料差異:變異數分析ANOVA
理論類型：差異/雙變項（單因子）分析或多變項（雙因子/多因子）分析均可
資料型態：連續資料
目的：將自變項分作2組（組的術語稱為「水準」）或以上，檢定各組是否來自不同母群？-亦即組間平均數是否不同？
本項分析方法最早是配合「實驗法」而發展，目前已廣泛使用在調查法與其他各種研究方法。
如實驗法為非隨機分派設計，或自變項非獨立變項，受到其他共變項影響，就要改用共變項分析(ANCOVA)。
高階與多變項分析，多是變異數的分解、組合與比較。
以「面積」分析「線性關係」。
變異數的分解與組合
各組合計之變異數總和為：
|
：樣本總平均數
：組內平均數|
這項概念說明，在未來講授多變項分析之「一般線性模型(GLM)」時，可協助學生更容易瞭解：為何GLM可以整合變異數分析與相關分析、合併處理類別資料與連續資料。 |
自由度(df)
總自由度﹦組間自由度+組內自由度
組間自由度﹦組數-1
組內自由度﹦（組內樣本數-1）之各組總和
為什麼？
大風吹原理（df愈大，愈接近常態分配）
應用觀念和常態分配、卡方分配一樣。
變異數分析的均方與F值
均方為變異數除以自由度，故 SS/ df = MS
SS: Sum of squares：變異數
MS: Mean square 稱為「均方」，即每單位的變異數。
到底是什麼意思？
概念上即「組間變異數」與「組內變異數」之比
亦即：若「組間變異數」>「組內變異數」，則組間有差異。
只有正值
F計算的對象是「變異數」，但「『分析目的』的對象是平均數是否有差異，不是變異數」。
F分配
變異數F分配檢定，若用手算太複雜，練習時可以採用：
線上變異數F分配計算器
分子 numerator 就是組間自由度，影響曲線形狀，愈大愈接近常態分配。
分母 denominator 就是組內自由度，其實等同樣本數，亦即愈大愈容易顯著。
變異數同質性檢定
變異數分析的前提為假設各組內變異數相等，亦稱各組必須具備同質性。
這項假設的原因，在提升變異數分析的品質效果。
注意：變異數分析的目的，實為分析比較平均數。
譬如：如果發現衣索比亞的平均國民所得，比瑞士高，且達顯著水準；其原因其實是因為衣索比亞的貧富太懸殊，而瑞士貧富差距不大所造成的。這樣的「數量」發現，並不能證明「衣索比亞的平均國民所得比瑞士高」的品質結論。
貧富太懸殊（變異數大）與貧富差距不大（變異數小），就是兩者不同質。
所以，變異數分析後必須再加：變異數同質性檢定、又稱為 Levene 各組內變異數相等檢定 Levene's Test of Equal Variances。
變異數同質性檢定的程序，也是一種變異數分析。
Levene 同質性檢定公式
Levene 同質性檢定公式 W 看起來相當複雜。
以上第1條公式，是 Levene 的原始公式，是以「平均數」為計算對象。
第2條公式，是 Brown–Forsythe 所發展，是以「中數」為計算對象，亦即可以拓展運用到等序資料、無母數統計的範疇，亦稱 Brown–Forsythe 檢定。
W 的顯著性檢定，就是使用 ANOVA 檢定，即等同：
k-1: 組間自由度
N-k: 組內自由度
Levene 同質性檢定神掌
Levene
同質性檢定的道理很簡單：就是把各組組內：
觀察值 - 組平均數
之值，全部改為絕對值（改負為正），再對新值（絕對值）作一次ANOVA。
如果組間（分子）大於組內（分母）、且達顯著水準，就是各組不具備同質性。
「離均差」絕對值的平均數
但多數文獻、包括以上連結，均未說明為何這個方法可以證明各組內變異數相等。
統雄老師解釋如下：
這個方法就是比較各組、各觀察值在組內「離均差」絕對值的平均數。
而「離均差」的平方，就是變異數。
也就是比較了各組內變異數是否相等。
這個思想方法，和「中央極限定理」是異曲同工的。
變異數同質性檢定不通過‧後續處理
變異數同質性檢定不通過的原因，第一個是樣本不具隨機性，自然沒有推論意義。
如果樣本具備隨機性，變異數同質性檢定仍然不通過，經常是某組內出現特異值(outlier)的狀況。
在此條件下仍擬分析，後續處理就是檢查與排除特異值(outlier)。
以衣索比亞的平均國民所得分析為例，其特異值(outlier)可能是該國統治集團的財富，故將該統治集團的財富剔除後，便可能獲得具變異數同質性下的差異分析，反映衣索比亞的平均國民所得低於瑞士的事實。
其次，可能是分組不恰當。組內可能包括了2個以上平均數有差異的「子組」，造成擴大組內變異數。
還可能有其他原因，應視個案而處理。
當然，也有組間變異數不同質，但仍可有差異比較的個案。
譬如：如果發現美國的平均國民所得高、變異數大；而斐濟的平均國民所得低、變異數小；兩者雖不同質，但均呈常態分配。這樣的條件下，還是可證明「美國的平均國民所得比斐濟高」的推論。
註：在獨立樣本 t 檢定中，有「不假設變異數相等」的方法，但統雄老師在「人類行為研究」分析中，不推薦 t 檢定的相關方法，理由請參考「計量思想的發展與前瞻」。
多重比較 Multiple Comparison
如果組別超過（含）3組，有進一步作「多重比較 」的必要。
又分作：
計畫事前比對 planned contrast，簡稱比對 contrast，與多重事後比較 post hoc test。
以上兩者 2 選 1 即可，其差別如下。
| 比對 Planned contrast | 多重事後比較 Post-hoc test | |
|---|---|---|
| 常用於 | 實驗法 | 調查法 |
| 目的 | 驗證性研究 Part of a strategy of confirmatory data analysis |
探索性研究 Part of an exploratory data analysis strategy |
| 時機 | 事前比較檢定 A contrast that you decided ttest prior tan examination of the data. Sometimes called a priori tests |
事後比較檢定 A contrast that you decide ttest only after observing all or part of the data. Sometimes called a posteriori tests |
| 強調 | 理論導向 These comparisons are theory driven |
資料導向 These comparisons are data driven |
ANOVA 比對 Planned contrast 的趨勢分析 Trend Analysis
ANOVA 的計畫事前比對 Planned contrast，同時可以作趨勢分析 Trend Analysis。
亦即在實驗設計時，各組必須具備「等序」性質。
譬如在新藥實驗時，設定：
1：控制組：服用安慰劑。
2：實驗組A：服用新藥低量劑。
3：實驗組B：服用新藥高量劑。
則可檢定，是否有量劑愈高、效果愈佳的「趨勢」。
F分配屬於Gamma分配的一種。
線上變異數分析ANOVA視覺學習器（目前已不提供）
統雄數學樂學/統計神掌易經筋-問卷
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