![統雄樂水。
統雄的人生追求是「多元學習‧獨立好」,所以秉「愛智者樂水」之意,視覺辯識系統,均以「樂水系列」為之。表達雖不能至,然心嚮往之。
典出「智者樂水」,唯整合西方「愛智 Philosophy」觀念,故擅改之。 統雄樂水](../../-cache/TxBanner_p.tuna.gif)
統計機率專題-卜豐投針實驗
神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁
符號意義:
統雄快訣
延伸閱讀
進階議題
警示訊息
卜豐投針實驗內容
1758年的一天,在法國巴黎一個叫卜豐(Buffon)的人家裡,聚集了男男女女,老老少少許多人,這些人都是受了主人的邀請,來參加一個大家都不甚明白的實驗。只見主人拿著一卷紙走入客廳,並走近客廳中央的圓桌,然後將紙展開舖到桌上。
接著,主人將事先準備好的一包包小針分發給各位來賓。然後向來賓解釋:紙上的一條條直線都是平行線,小針的長度是平行線間距離的一半,現在,請各位將手中的小針隨意投向紙面。
實驗就這樣開始了。客人們覺得很好玩,都興高采烈地隨手把小針一根一根投向紙面。這些針有的落在白紙上的兩條平行線之間,不與任何直線相交,有的則剛好落在某一條直線上。(如圖)
卜豐在一旁記錄著投針的次數和針與某一直線相交的次數。當客人們手中的針都投完時,卜豐得到了兩個資料:全部投針次數2212,與平行相交的投針次數704,有了這兩個資料之後,卜豐做了一個簡單除法:2212÷704≒3.142 。他宣佈這就是「圓周率」的近似值。客人們驚訝不已!
這就是有名的『卜豐投針問題』實驗。
統雄觀念簡說
為什麼?各種數學文獻的正規推導難免複雜,一般人可能無法輕易、快速理解,且讓統雄老師再來幫你打一掌。
這個問題,其實就相當於在1個時鐘的頂端與底部畫2條平行線,然後問:分針繞1圈會和2條平行線正交幾次?(如分針長度是平行線間距的一半,正交是唯一和平行線相交的機會。)
答案很簡單:只有2次,即指到12和6的時候。
分針繞1圈的角度有多少?我們知道是2π。
所以分針繞1圈的會產生相交現象的「理論機率」是:P= 2 / 2π = 1/π
以上公式移項: π = 1/P
而實驗中發生的「觀察機率」P = 與平行線相交數 / 總投針數
將 P 代入前一公式,並簡化繁分數,則:
π = 總投針數 / 與平行線相交數
是不是真簡單?
簡約的歸納法
統雄老師以上的示範,其實是一種簡約的歸納法。
1.如果1個樣本空間中所有樣本總加的平均,會等於一個「平均樣本」。
2.如果我們能夠找到「平均樣本」,研究這個樣本的行為,就會是所有所有樣本總加後的平均行為。
卜豐的啟示
卜豐實驗不能算是建構一種獨立的基礎知識,但確實是一種獨到的「不同思想方法」。
卜豐結合了機率和積分的有關知識,完全不借助幾何知識方法就能求出π 的值。
這是一種從理論反推事實可能發生的途徑,再由實驗證明抽象 事件存在的方法,甚至可以預測估計抽象 參數的值。
當然,真正以實驗、或電腦模擬時,並不容易剛好產生π 值,而只能產生近似值。這也說明在統計-或第2類知識-領域內,只能產生「區間測量」的結果。
行為機率的開拓
卜豐實驗開拓了機率研究更廣闊的觀照,增加了後世更多的應用。
請參考「機率論與機率分配篇」。
快樂學習的啟示
注意,本專題也是簡化式觀念解說,不是所有細節的運算。目的是延續本「數學樂學」系列的一貫精神問題解決,而不是計算。
我們是從一個「平均條件」的例子,啟發思考的邏輯;當我們能夠感受思考的趣味後,再由淺入深,推導滿足一般狀況的完整公式。
Buffon's Needle Problem 卜豐投針,布豐投針,布封投針,布馮投針。我的記憶力很差,記人名更差,尤其外國人名,幾乎完全無法記得。所以,很久以前,我開始把外國人名「音意譯」,亦即將其中文名盡量和他的個人行為特色連結在一起。對於一些有個人獨特性,但又非大眾流行人物,「名實相符」或有其意義。Buffon's Needle Problem 卜豐投針,一般文獻又譯:布豐投針,布封投針,布馮投針。 由於這項實驗強調其未卜先知,故採用「卜豐投針」。 |
從以上經驗,也可發現思想方法充滿了可發展性,而領悟另有解決更深問題「第3類知識的存在」
追求行為 Modeling的新典範
參考連結
管理研究統計課程-問卷
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