Harmony- Natural Scales

古典音樂理論有「三要素」與「五要素」兩說，三要素指：旋律、和聲、節奏。五要素再加上：音色（通常即樂器）、曲式。

在編曲程序中，曲式是對美學純「結構」元素的設計，其他 4 要素，都是較偏向對美學「意涵」元素的設計。

對創作者，是先產生「意涵」、再發展「結構」；而對欣賞者，是先接觸「結構」、再感受「意涵」。

音樂要素如果擬人化，旋律就是骨架、和聲是血肉、節奏是行為，音色則是服飾與佩件。

「和聲」是一組會令人有感的樂音，音樂要有血肉、豐富感，訴諸聽覺的重頭戲就是和聲設計。

「和聲」是由「音階」來，「音階」又是由「主音」與「泛音生成」來。

「和弦」特指如何設計和聲的組成音，在設計之前，必須先瞭解其美學原理與分析其構成方式。

本文由跨文化音樂分析（Western Meets Chinese, Acoustic Links to Digital Technology , 西方與中華美學融會,古典與數位技術整合）、Music Notes and Acoustic Resonances , 樂音與自然共鳴、Harmony, Chord, Chord Progression , 和聲,和弦,和弦的進行,Pitch and Overtones ,音高與泛音, Root note and Interval ,根音與音程,Birth of Harmonic Music Notes ,行為美學‧知識美學的開拓實驗、和諧樂音的誕生,Artificial Harmony , Diatonic scale, 希臘自然音階,Degree of Scale, 音階的度,Chinese scale, 中華五聲音階, Leading Note, Resolve, Progressive Energy, 什麼是導音, Taiwan Aborigines' Scale  臺灣原住民四聲音階? 音樂的解決,音樂的促成,進行能量,Harmony vs. Progression, A Trade off of Music Aesthetics, 和聲或進行,音樂美學的抉擇,同時，也兼及音階產生規律的類型，介述五度相生律（Meantone temperament）、純律（Just intonation）、與十二平均律（Equal temperament）。

跨文化音樂分析

Western Meets Chinese, Acoustic Links to Digital Technology

西方與中華美學融會‧古典與數位技術整合

百餘年來，西方文化強壓東方，許多人不知道中華音樂美學的完整與璀璨，在某些主題的研究成果，其實超過同時期的西方。

當前的樂理教材，極少提及中華的音樂思想與成就，統雄老師將在本講義系列中，比較同主題、西方與中華音樂理論的異同，分析其間美學思想與歷史發展的交互作用後果。

當然，在當代國際化的衝擊下，在相同事物的代表符號上，我們為了溝通便利，還是採用已經國際化的符號，譬如以 F, fa, 代表與中華音律「黃鐘」同樣的意涵。

傳統的樂理是建築在自然的「共鳴式音樂(Acoustic Music)上的，但近代陸續出現了各種電子音樂(Plugged Music, Wired Music)，乃至現在的數位音樂，已成為不可逆的現象。可惜的是，多數的樂理教科書，仍然沒有這個部分。

統雄老師的樂理系列講義，強調東西方音樂與美學思想相輔相成，古典與數位科技音樂技術整合，期望在創作、應用、表現技術上，能夠產生創新特色的成果。 

Mode is defined by melody and harmony. Technically, it is decided by the scale, the key signature of the tone and cords.

Harmony includes chord and countpoint. Chord is the vertical harmony while counterpoint is the horizontal, melodywise, harmony.

By the western classic point of view, the melody is the general presentation of the motion of chords. Thus, a certain method of composition that is to 'fill in' the melody into a designated motion of chords.

However, my (TX, Wu's) opinion is that melody should be prior to the harmony. The melody should lead the music while the harmony should play supporting roles, though they likely would have inter-correlated influences to each other.

Music Notes and Acoustic Resonances

樂音與自然共鳴

我讀了許多樂理書籍，都是立即列出音階、和一長串的和弦，要求讀者背誦，卻忘了-或者作者也不知道-其美從何來。

統雄老師則希望先解說「為什麼？」因為「和弦」是由「和聲」來，和聲又是由「音階」來。

音階與和聲則來自於物理的樂音與泛音現象、與自然之美。當一個物體震盪產生有聲頻率，其泛音的「自然聲共鳴(Acoustic Resonances)」在有序的條件與環境下，會有悅耳與豐富之感，這就是樂音。反之，就是噪音。

Any tone will produce overtones and partial tones that they will be harmonic to each other.

The perfect harmonics are resulted by the resonance and the ratio of frequencies. There are more overtones will come out continuously.

固體共鳴與空氣柱共鳴  

固體共鳴典型的案例是：兩個音叉（就是一敲就響的棍子），不接觸。敲其中一個，另一個會跟著嗡嗡的響。 這個原理上很簡單：第一個音叉振動把聲波傳到空氣中，空氣振動帶動了第二個音叉也跟著振。 固體共鳴必須滿足「聲波的頻率跟固體自身振動頻率吻合或者接近」的條件。

空氣柱共鳴，則有指數級放大音量的效果。

空氣柱共鳴實驗

空氣柱共鳴現象，使得樂器能夠產生更多的泛音，與更大的音量。

Harmony, Chord, Chord Progression

和聲‧和弦‧和弦的進行

人類發現了這個現象，就發展了樂器製作與演奏方式，主動控制發音的條件，促成泛音與主音更鮮明的共鳴，使音樂產生更豐實、具體的血肉感，這就是「和聲(Harmony)」。

如何選擇那些聲音組合成和聲，設計並實現音樂家創作的效果，就是「和弦(Chord)」。

音樂是一種時間的媒體，如何使和聲有一致性、體魄比例合理性、生命發展有延續性，就是「和弦的進行(Chord Progression)」。

Pitch and Overtones 音高與泛音

「和聲之美」有物理科學的解釋，每一個樂音的「音高(pitch)」都是與其震盪的頻率(frequency)成正比，而每形成1個樂音時，都會激發相關的頻率音波，而產生自然的泛音(overtones)。

泛音之間的共鳴現象，就是「自然和聲(Natural Harmony)」的原理。「和聲」如果順著自然泛音的發展進行，必然會有行雲流水、格外和諧優美之感。

Root note and Interval 根音與音程

泛音的發展，是可以用數學推算的，譬如撥動一根弦、或吹一根管，除了本身的音高-稱為根音(root note)-外，會因為震動現象，產生其他的共鳴音，每2個音之間的差距，稱為「音程(interval)」。

泛音會以整數平均分割的方式產生，如左圖。

第一個發生的泛音是與弦長一半(1/2)的發音相同，也就是頻率剛好是根音1倍的音；第二個發生的泛音是與弦長三分之二(2/3)的發音相同；第三個發生的泛音是與弦長四分之三(3/4)的發音相同，這些自然的共鳴音所產生的和諧、豐富的音響感就是「和聲」。

古希臘數學家 Pythagoras 發現這正是數目順序前4個數字「1-2-3-4」的兩兩逐項比例，稱為數學與音樂的神秘比例。

自然泛音泛音其實會按4/5, 5/6,...的弦長音繼續發展下去，但已超過一般人的聽覺範圍，自然泛音產生的圖例如左。

更重要的是，我國古籍「管子地員篇」兩千多年也發現了這個數學公式，建立了「三分損益法」的理論，更設計了「實驗物理」的方法，證明了這個立論，也可發展出更多樂音、建構了音樂的知識美學體系。

更詳細的實驗方法記載，就是將基本律管(稱為黃鐘)捨其三分之一而取三分之二，形成一新律管，會得到第一泛音、也是最美的共鳴音。如是循環，循環一周，剛好又會產生比根音高1倍的音。

Pioneering Experiment in Behavioral Aesthetics

行為美學‧知識美學的開拓實驗

Birth of Harmonic Music Notes 和諧樂音的誕生

中華古音樂家不僅創建了行為美學‧知識美學的開拓實驗，促成了和諧樂音、與自然音階的誕生，更重要的是展示了音樂與數學的連通，物理知識與行為美學知識的呼應。

希臘古音樂家也有從事類似的實驗與發現。 也再次證明，不論東西方，早期對知識的認識是多元且互通的。當前的「分流、分科」「兩種文化」並非必然，而是後世人類在功利導向下的自我學習退縮。

以下介紹「樂音與音階誕生」實驗的程序與發現，唯因當前音樂研究以西方為完整，故採用西方術語，以利溝通：

當有【音階】的觀念產生時，音階中的每個樂音，又有了不同的記錄方式。第一個是【唱名】，即相對音階、移動音階階的概念，又稱為【首調】，記錄方式即1234..；第二個是絕對音高、或簡稱【音高】，記錄方式即 CDEF...。在數位時代，音高已經有了基於科技的明確定義，但在19世紀前，歐洲各國的 C，可能實際仍有差異。

以標準律管、或標準弦長所發的音，稱為根音或主音， 與根音呈正負倍數的音，我們以同一名稱命名，但因應不同表現需求，加注各種符號。

假設根音為 C，音高按照英文字母序遞增，直到高1倍的音，特命名為C，則從第一、第二泛音，循序再產生泛音的順序、命名如下，其中的「＃」符號表示「高半音」，而「半音」的意義在下一篇「人為音階、數位音階」再詳細說明。

在2/3處得到第二泛音G，然後再以G長的1/2處，得到G，G長的2/3處，得到D，同理以D長的2/3處往下再實驗，陸續會得到：A - E  - B - F#。另外，在G長的3/4處，也，即的第三泛音，又會得到C。

Experiment Processes 實驗程序

C → C  (1/2)

   → G  (2/3)

           →(1/2) G

          →(2/3) D - A - E  - B - F#

           →(3/4)C

這樣循環一周，根音至根音高1倍的音之間，共產生6個音，合計兩頭共8個音，再以其音高比較，形成以下順序：

C - D - E - F# - G - A - B - C 

Diatonic scale 希臘自然音階

同以上原理，則從第三泛音，循序再產生泛音的順序、與命名如下。其中的「b」符號表示「低半音」，而「半音」的意義，同樣在下一篇「人為音階、數位音階」再詳細說明。

   → F  (3/4)

           → (1/2)F

           → (3/4) Bb  - Eb - Ab - Db - Gb

           → (2/3)C

Note: For natural scale, F# ≠ Gb

由自然方式產生的音，最後的出現的2音，其實並不相同，即F# ≠ Gb。

According to the natural harmonics, the ancient Greek designed the diatonic scale and founded the fundamentals of theoretical composition as follows.

以上第二泛音組的循環產生了7個音，最後產生的是 F#，共鳴效果最弱，而第三泛音 F 率先出現、且共鳴音效果極佳，所以古代的希臘音樂家就捨 F#、取 F 。經由以上泛音循環，建立沒有升降記號的7個音，便稱為「音階(scale)」。而西方古音樂家稱為「自然音階(Diatonic scale)」如下。

C - D - E - F - G - A - B - C

按：其名雖為「自然」，其實是已經過人為美感經驗所取捨的。

Degree of Scale 音階的度

自然音階從第1音 C到第8音為C，其順序稱為「度(degree)」，故 C稱為8度音，其間距離稱為8度音程(octave interval)；第二個發生的是與弦長三分之二的 G，是第5個音，故稱為5度音；第三個發生的是與弦長四分之三的 F，是第4個音，故稱為4度音。「度」的中文也可稱為「級」。

The Forth Overtone/ Triad Tone 第四泛音/三度音

第四個發生的泛音，是在弦長五分之四的地方，和以上循環生成的 E，幾乎相同，按照音高是第3個音，故稱為3度音(Triad Tone)。

3度音未來在討論、設計和弦的組成時，將有相當深入的影響。

當前的中華民族樂器，多數是與漢唐之後的胡樂器混血而成，而以上的「八音」，應屬原創樂器，其中最特色的古琴，請詳見中華民族樂器。 圖為：宋徽宗（1082年－1135年）名畫《聽琴圖》。來源：Wiki。

Chinese scales中華音階

中華先秦時代古籍，便已留下諸多聲學與音樂學的研究記載，涵蓋物體振動、聲音傳播、共鳴現象及共振實驗等。《呂氏春秋》說【聲出於和，和出於適。和、適，先王定樂由此而生】，即是音樂構成的基本原則，與追求【和諧/和聲】的概念。

《莊子》記載「鼓宮宮動」「鼓角角動」，就是說明共振（共鳴）現象；《呂氏春秋》的「類同相召，氣同則合，聲比則應」講得更為深刻，其中的 「氣」應是「聲波」，屬於直覺經驗式的體悟。除了律學研究方面之外，還有古代樂器們工藝、製造等方面的研究記錄，本講義也將以《中華民族樂器》專章介述。

不過，必須注意的是，中華歷史源遠流長，各代的樂論名詞并未統一，所以參酌古籍時，不要陷入文字障。

中華五聲音階

管子地員篇創造了「三分損益法」，生成了「宮、商、角（ㄐㄩㄝ/）、清角、徵（ㄓˇ）、清徵、羽。」的５聲音階，其記錄為：【凡將起五音凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。】，其中【主一而三之】，就是指根據可以分為【九九、81單位】的【一基本絃】，實施「三分損益法」，就可以生成「徵羽宮商角」的【５音】。所以【五音】 是【首調】、即相對音階、移動音階階的概念，是現在講的【唱名】，即1234..；而在該文沒有說明的特定【基本絃長】，即【宮】的絕對音高、又命名為「黃鐘」，是現在講的【音高】，即 CDEF...。而中古至近古的「工尺」系統，也是指絕對音高而言。絕對音高在古籍中又統稱為【均】，但各國的【均】可能又不一致。

The ancient Chinese found a better harmonic scale as the following:

In practice of harmony, we will use Bb instead of B for cord.

However, the advantage of B is that B will play a function of 'leading note' to create a dynamics to go to the root tone and lead to the motion to the tonic chord. It also divides an octave into two equal scales: from C to F and from G to C .

三分損益法的生成程序

管子是先將【一基本絃】*2，再2/3 生成低 8 度的徵，所以順序徵在最前，且其比例為108 單位。

史記以81 為單位，並將程序改為以下：

C →  G  (2/3)

           →(*2) G

          →(2/3) D - A - E 

順序便成為「宮商角徵羽」，而其比例就是：1，8/9，64/81，2/3，16/27。

呂氏春秋音律篇中再記載了生成１２個半音的絕對音名為：黃鐘、大呂、太蔟、夾鐘、姑洗、仲呂、蕤賓、林鐘、夷則、南呂、無射、應鐘。

此後常識上，認為中華音樂屬 5 聲音階(Pentatonic)，亦即在1個8度音程中，只演唱、演奏5個音：

C - D - E - G - A - C 

這種音階由中華傳佈亞洲，經由長期歷史取用經驗，確實形成音樂美感上的亞洲特色。

中華各古籍上一般記載五聲音階的名稱是：「宮商角徵羽」，當前不少文獻上認為宮就是C，是依據西方樂理習慣，或是為了解說上的便利用法。就考古證據，並不是 C。

若根據「禮記-月令章句」對周代律管尺寸的記錄，重製出「黃鐘」-即「宮」的頻率為 346.74 赫，其實接近當前定頻的 F 音：349.23 赫。故統雄老師較認同，如果「宮商角徵羽」視為絕對音高的話，可能是 F 調：

F - G - A - C - D - F

統雄老師為避免初學者困擾，所以以上先用 C 調說明，樂音間關係不變，只是根音不同。

中華七聲音階

事實上，早於周朝，根據考古證據，中華就已經發現7聲音階(Heptatonic)。

統雄老師的初步研究發現，似乎古代的中國音樂家美感經驗便與希臘音樂家有所不同，在 F泛音的發展中，再取 Bb 而捨 B ，形成以下的7聲音階：

C - D - E - F - G - A - Bb - C

以上是以西方 C 調式為主的方式展示，調低第七音半音。其實就是不必調音的 F 調式：

F - G - A - Bb - C - D - E - F

這也是統雄老師支持中華古七聲音階，可能是 F 調式的再一個原因。

隨著作曲技術的發展，音樂家發現，在和聲與共鳴效果上，確實 Bb優於 B，所以後來在音程的命名上，Bb因和聲的優勢，稱為7度，而 B稱為「大7度(major 7)」。 

不過，曾侯乙編鐘的【黃鐘】經過實測，音高是 Ab，而其銘文記載，各國的音名不同，所以古代即使出現唱名與音高，不同而並行的觀念，在音高上，各國並沒有統一。

所以，統雄老師講的【中華古音階，可能是 F 調】的再一個原因。是美學上的意義，而非定音上的意義。

中華七聲音階 半音命名：變●清

中華七聲音階比五聲音階會多半音，命名方式：【變】為降半音，如【變宮】就是宮降半音為 7；【清】為升半音，如【清角】就是【角】升半音為 4。

另外，b7  就是【清羽】，又特命名為【閏】。

中華十二聲音階

曾侯乙編鐘是春秋戰國時期（公元前5世紀）經由【配器觀念】所導出的十二聲音階，是一種非常獨特而有創意的思想方法，也是純律（自然生成）與實驗十二平均律的混合型。

這套編鐘，證明當時中國已經有七聲音階及絕對音高的概念。這套編鐘採用了十二音位體系（是實驗得知，而非數學得之），這十二個音可以分為三組，「基」、「角」、「曾」。

「四基」即四個基礎音：徵、羽、宮、商。它們分別有兩個變化音：「角」為基音上方大三度，「曾」為基音上方兩個大三度。這樣，十二個音可以包含在這三音組之中了。

曾侯乙編鐘的【宮】是【姑洗】而不是【黃鐘】，同時在銘文中也提到各國並不相同。故【唱名】與【音高】的區別，在中華古代已有，但各國、與各時代，并未標準化。

Taiwan Aborigines' Scale  臺灣原住民四聲音階?

臺灣日據時期於一九一三年至一九二一年間，曾研究出版原住民音樂最早的文獻《蕃族調查報告書》，在樂器項下就有論及「手琴」等樂器，部份附有圖繪與各族不同的稱呼。根據日本文獻記載稱之為「手琴」的樂器，是以一塊木板，長約一尺、寬約五、六寸的木板中，製作四條銅線，並以這四條銅線為弦，分別代表Re、Mi、Sol、La 等四個音階，並以此四個音階來決定四條銅線的長短。目前，「手琴」這個樂器已失傳。 

統雄並未研究考古音樂，不能確定此記載是否表示臺灣原住民曾有四聲音階。但根據樂音的自然產生程序：

D → A  (2/3)

          →E  (2/3)

同時：

G → D  (2/3)

而生成如下的4聲音階，是有可能的：

D - E - G - A

這個討論的重點，是要說明音樂的自然性，以及人類對音樂共同的反應。

Leading Note, Resolve, Progressive Energy

導音‧解決/促成‧進行能量

What is Leading Note? 什麼是導音？

幾乎所有樂理書都直指導音就是大7度音(major 7)，對C調言，就是B。

為什麼呢？樂理書都沒講。

What is "Resolve"? 什麼是解決?其實是促成？

樂理書也多會提到，大7度音必須"Resolve"到根音。

在中文書上幾乎都直譯為「解決」，學習者除了背誦之外，很難望文生義，什麼叫大7度音必須「解決」到根音？

而以後在「和弦進行」的設計與討論，會出現更多某和弦「解決」到某和弦，很可能令人一頭霧水。

"Resolve"在音樂上其實是「促成」的意思，即7度音會「促使形成」到根音的期待。

那這又是為什麼呢？

What is Progressive Energy 什麼是進行能量？

這就是為何統雄老師前面要特別介紹樂音形成的原因。

在物理上，會有2個自然促成的能量，1個是5度音，會有「收斂性」回歸主音的促成能量。另1個是4度音，會有「發散性」推向主音的促成能量。

而在泛音現象形成自然音階的過程中，大7度音是最後1個形成的音，且與主音只有半音差，會有聽覺上的不穩定感，如果順著音階唱奏，會形成心理上一種回歸主音的促成能量。

西方音樂家也發現了「大7度」的穩定性較差，在旋律進行時，有強烈進入根音的傾向，「導向感」明確，故特稱為「導音(leading note)」。

所以，統雄老師將這3個-5度、4度、大7度-物理上、心理上會促成往主音發展的音，特命名為具備「進行能量（Progressive Energy）」。

而心理上的進行能量，除了3泛音的個別能量外，還有一類是「相對進行能量」，也是順著音階唱奏，會形成聽覺上、心理上向下一個音前進的促成能量，這種生心理的反應，也是未來討論和弦進行，「級進」技法的知識基礎。

有這樣的觀念，未來才能在知識上「解釋」「和弦進行（Chord Progression）」的理由，「預測」其進行的效果。

能夠「解釋與預測」，才是奠基於科學知識的音樂美學。

另外，4度音因為是來自不同的泛音循環，所以它除了有往根音的進行能量外，也具備往差半音的「類導音」進行能量、以及向5度音「級進」的「相對進行能量」，這個特性在未來的和弦進行設計中，也非常重要。

Harmony vs. Progression: A Trade-off of Music Aesthetics

和聲或進行：音樂美學的抉擇

在古希臘和古中華音樂家對音階音的取捨，反映了「美學的抉擇」。

古希臘音樂家是強調「音階進行」的，也可能是較近「格律派」的，因為希臘7聲音階可以分為：

C - D - E - F

G - A - B - C

2個結構相同的對稱組，使得音階的形式更具物理式的可處理性。

而古中華音樂家對音階的取捨，應是強調「和聲效果」的。

有些中文文章，說中華音樂沒有和聲觀念，應是非常草率的。考古證據中，常發現「數排」編鐘，就可能是和聲演奏編製。中華樂器的竽（笙）、琴、琵琶…等，本身就是和聲樂器。統雄老師對一些古譜的初步解讀，也看到許多巧妙的和聲設計。中華音樂源頭，應是重視和聲的。

在古希臘和古中華音樂家對音階音的制定，是「抉擇」的結果，而沒有「優劣好壞」的問題。

美學是一種人類行為，知識美學、行為美學不是物理科學、不能以「點測量、點差距」比較。但也不是唯心的「天才與靈感」，而是一種「可類型測量、可趨勢比較」的思想方法與第3類知識。

音階的產生規律

自然律：五度相生律 Meantone temperament、純律 Just intonation

一般音樂文獻，把音階的產生規律，分作 3 類：五度相生律（Meantone temperament）、純律（Just intonation）、與十二平均律（Equal temperament）。

五度相生律（Meantone temperament）就是本文前述所介紹的自然音階產生。

但純律（Just intonation）其實就是「五聲音階」：

C - D - E - G - A - C

不過，純律（Just intonation）的 E，是調為弦長五分之四的音，和五度相生循環生成的 E，幾乎相同。

當然，要在細節上爭議，還可以扯出一些五度相生律（Meantone temperament）、純律（Just intonation）的不同；但統雄老師一貫主張：理論建構者、創作者，宜看大棄小，故將五度相生律（Pythagorean tuning）、純律（Just intonation）同視為自然律，而與下文的十二平均律（Equal temperament）對稱。