Harmony- Digital Scales

自然和聲不易樂器化，也不易使不同的樂器合奏產生和聲。

為解決以上問題，陸續出現以下議題：

Equal Temperament 朱載堉：科學十二平均律

Well Temperament 巴哈的美學十二平均律、美聲律

Chromatic Scale 半音音階/全音與半音

What is the Correct Pitches? 什麼是「音準」？

Digital Scale, Frequency and Midi 數位音階、頻率與Midi定義。

Equal Temperament 朱載堉：科學十二平均律

明朝音律學家朱載堉以物理數學方式，調出了科學十二平均律，得以簡易的演奏出人為和聲，其與自然和聲的差異，已低於一般人耳的辨別能力。在科技的發展下，得以數位技術調律，形成頻率穩定的數位音階。

在一個8度的音程範圍內，2組泛音可以產生共12個音，加上本音為13個音，如何決定各音之間的關係稱為「調律(Temperament)」，使用自然泛音、自然共鳴方法所調出來的各音稱為「純律」。

因為第二泛音的產生分母是3，無法除盡，純律的調音是非常困難的，2組調音法所調出的音階，彼此也並不和諧。

明朝音律學家朱載堉在1584年提出十二平均律，將1個音程的8度間（倍頻），刻劃成平均的十二個音階，以「2開12次方根」為倍率(1.059463094)，每個半音是前一個半音頻率乘倍率，正好12個半音會形成8度音程。此為等比級數的分析應用，亦即1個常數連乘12次倍率，正好是該常數的2倍。這樣每個音階都可以吻合應用，也解決了音樂創作上重要的「轉調（詳和弦的進行）」問題。

而西洋平均律，始自西方古典音樂之父巴哈，他設計了十二平均律的鋼琴，並於1722年編寫發表了十二平均律的完整樂曲，從此奠定了以十二平均律為基礎的西洋音樂理論。

因此，當前以鋼琴為調音基礎的旋律與和聲，其實是一種人為音準、人為和聲，並不是自然和聲。

西方曾經有多位重要學者，曾經尋找純律轉成為平均律的方法而失敗，其中包括伽利略的父親老伽利略。也就是說，歷史上的奇才-統雄老師最欽佩者之一的伽利略，可能也沒能力解決爸爸留下來的這個問題。

十二平均律反映的是物理與音樂的整合，數學分析在藝術創作上的應用。朱載堉展現的是「多元學習」的典範，與中華領先西方的成就，我們不可妄自菲薄，更要自勉發揚光大！

Well Temperament

巴哈的美學十二平均律、美聲律

德國作曲家巴哈於1722年發表的 Das Wohltemperierten Klavier，英譯書名是 Well Tempered Clavier，中文一般譯為《平均律鍵盤曲集》，22年後又發表了第二卷。但這 2 本書中文的真正意思是「完美調音的鍵盤樂器」，正譯應該是「美聲律鍵盤曲集」。不過，其內容就是為十二平均律的鍵盤樂器所創作的樂曲。十二平均律的德文是 Gleichschwebende Temperatur，而不是 Wohltemprierte 。平均律的英文是 Equal Temperament，Temperament 是 Temper（調律）的名詞，原始沒有平均的意思。

因為百餘年來歐美各國的調律都採十二平均律，故現在習慣以 Temperament 表示十二平均律，俗稱巴哈的作品開創了十二平均律，而我們可視為，這是美學產生的十二平均律。

巴哈這 2 本書，是以「實作、實驗表現理論」，內容是樂譜，其實沒有文字敘述理論。每書都是全部二十四個大小調上的前奏曲與賦格，證明鍵盤樂器用24個調子中的任何一個音進入，樂曲能在八度12音調中互相轉調，從而使「複音音樂」體系完成、登峰造極，使多聲部和弦進行、複雜的對位、多變的調性成為可能，開創了西方格律的、狹義的「古典主義音樂時代」，直接影響了重要音樂家如莫扎特和海頓…也因此，被尊稱為西方音樂之父。

巴哈的音樂具有深遠的影響，證據之一是莫扎特的《C大調幻想曲與賦格》（K. 394），其中賦格的主題與《平均律鍵盤曲集》第一卷中降A大調賦格的主題相同。

巴哈代表作試聽與分析

兩書中最出名的一首是第一卷的第一首前奏曲，由簡單的分解和弦的進行組成。由於C大調前奏曲技巧上的簡單，成為鋼琴初學者必學的曲目之一。這首前奏曲還被古諾改編成了《聖母頌》。

Bach Tempered Clavier Prelude No.1 巴哈 十二平均律 前奏曲

統雄老師解說如下，如果無法立即掌握，請先讀「和弦進行系列」，再回來試聽感受。

巴哈採用的就是：級進、5 度、4 度進行：

1 - 7 - 1 -7 - 6 - 2 - 5 - [4] - 3 - 2 - 5 - 1

而達成從容的轉調、建構豐富的和聲，再順利的轉回主調根音。

在 [4] 度時，果然採用了 [4] 度「必轉調」的公式。

統雄老師在高中-大學期間發現 「4 度轉調」效果時，並還沒看過巴哈的著作與作品。可見人類的美感經驗，是存在跨歷史、跨地理、跨文化相通之處的，也是「TX 人類取用行為」模式論的再一個普遍例證。

巴哈的啟示：創新的執著與弔詭

「十二平均律」是巴哈為兒子音樂教育所寫的練習曲，但費時多年，目標小，但投入大。

現在被稱為震古鑠今的最高傑作，巴哈在世時，卻不被當時世人重視，無人願意投資出版，僅有手抄本在音樂家間流傳，直到他身後1801年才印刷出版，成為音樂理論的「聖經」。

巴哈的啟示：第一、興趣導向、對己負責；全力以赴、不計功利。

第二：創新就是與眾不同、經常在當代被輕視、歧視。不僅科學史反創新，音樂史（不僅古典時代巴哈，現代如龐克 Punk）、藝術史（如印象派 Impressionism）…也是一樣。

Equal Temperament vs. Well Temperament

平均律對美聲律

朱載堉刊行十二平均律學說之時，正值耶穌會義大利傳教士利馬竇來華之時，極有可能在此時通過傳教士傳向西方。十九世紀德國物理學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲在所著的論音感一書中寫道：「中國有一位王子名叫載堉，力排眾議，創導七聲音階。而將八度分成十二個半音的方法，也是這個富有天才和智巧的國家發明的」。而1890年布魯塞爾皇家音樂博物館，按朱載堉十二平均律數據，複製了一套律管，經過測試之後，證明了他的理論的準確性。

雖然朱載堉的理論發表早於巴哈一百四十年，李約瑟等人認為朱載堉的理論後來因傳入歐洲，而為西洋音樂之父巴哈採用，卻可能不是事實。

巴哈的作品有十二平均律的事實，但發展的思想不同。朱載堉的理論是基於物理現象、科學的分析，而巴哈是基於和聲推導，是一種美學的經驗。

平均律 (Equal Temperament) 一詞是後代出現的名詞， 強調數學的意義。巴哈用的名詞其實是「美聲律 Well Temperament」, 他的 一詞。

巴哈的鍵盤樂器則是使用他的學生，音樂理論家Johann Philipp Kirnberger 綜合中庸律（Meantone temperament）與五度相生律的原理，所發明的調律法。

James Murray Barbour (1897 - 1970) 的「調律技術演進史」，認為1842年由英國樂器製造廠 Broadwood 找到十二平均律的調律法，十二平均律才開始在歐洲普及。 

所以，十二平均律可能是東方與西方，在不同思想下分別發展，卻得出幾乎相同結果的音樂理論。

Chromatic Scale

半音音階/全音與半音

十二平均律導出的音階稱為半音階，而2個半音的音程則稱為全音。

半音階的成立使得音樂的創作更有彈性了，同時 F# = Gb，使音階的應用結構更完整。

Chromatic scale is defined artificially and consists of 12 tempered (equivalent) semi tones and notes. Those notes are very closed, but not exactly, to the natural notes and are much easier to arrange chords.

The interval is divided by 'degree' and categorized into 'perfect consonant interval', 'imperfect consonant interval' and 'dissonant interval'.

Above natural harmonics can be analyzed and so called as perfect 8 degree, or octave, perfect 5 degree, and prefect 4 degree.

Major 3, minor 3, 7 (i.e. minor 7), and 6 (i.e. minor 6) are imperfect consonant.

Others are dissonant.

Note: For chromatic scale, F# = Gb

Comparison between Natural and Equal Temperament

自然律與平均律的比較

近代科技發達，運用更精密的儀器作實驗，測量了琴弦各整數比例處所共振發生的自然泛音，再與十二平均律比較如下表。

「完全」度數，指平均律和自然律完全相同。

「平均極近自然」度數，指平均律和自然律極為接近。

「人為平均」度數，指當前實作所使用的平均律，和自然律有所差距。

其中最困擾的就是小三度，自然音是發生在接近弦長5/6的地方，但以平均律反推，反而接近弦長6/7處，但也只能捨自然律、而採用平均律的音程。

換句話說，在當前樂器上，小三度和大二度，其實是比較不准的。這個特性，未來會在和弦的組合上，產生微妙的作用。

Enharmonic 異名同音

Enharmonic 【異名同音】在平均律中，就是 F# = Gb 的觀念。以下為12個半音的 Enharmonic 異名同音表。

由於升降與 重升、重降 的原因，音名不同而音高相同，除了 G♯ 和 A♭ 的組合外，其他組合都是三個一組。

鍵盤	音名
	A	B	C♭
	A♯	B♭	C
	G	A	B
	G♯	—	A♭
	F	G	A
	E	F♯	G♭
	E♯	F	G
	D	E	F♭
	D♯	E♭	F
	C	D	E
	B	C♯	D♭
	B♯	C	D

What is the Correct Pitches? 什麼是「音準」？

什麼是「音準」？

歷史上各地音樂的基準音是都不一樣的，即使歐洲在巴哈以後，音樂創作交流日盛，樂理、記譜法相同，各城市之間樂團的基準音是還是不一樣。

1711年發明的音叉，為音高帶來了一個可靠的標準，然而直到20世紀才有足夠精確的科學方法測量頻率，使用赫茲作為頻率單位。

法國政府曾通過了一個法案定義中央C上的A為435赫茲，隨著時間發展它漸漸從被稱為法國音高、大陸音高，最後甚至國際音高。

1926年，美國樂器廠商首先制定了以440Hz作為A音的標準，並以此標準生產樂器。到1936年美國標準委員會正式將中央C上面的A音的頻率定為440Hz。1953年，國際標準委員會(ISO)也接受這一推薦，A-440就成為了ISO的第16號標準。從那時起，全世界的樂器的 A 音，就都統一相同音高上了。  

音準不準？

以上介紹的是 A 音、單一基準音的音高，但音階內各音的音高呢？

當前有許多歌曲演唱競賽節目，有些「毒舌」評審，不時愛強烈指責演唱者「音不準」！

人聲不是人工樂器，而是自然的樂音創造者，什麼是人聲的「音準」呢？

如果以平均律為準，就是自然律不準；如果以自然律為準，那又是平均律不準。還是評審根本不知道有2種音律的「音準」？

我小時候貧窮，一直到高中參加合唱團，才第一次有機會聽鋼琴按和弦，讓各部練唱，我那時直覺和聲不準，但總認為是自己耳朵不好，長期十分自卑！

後來我研究聲律，才發現：原來是鋼琴故意不準！

其實「人聲」是一種智慧樂器，是可以微調自己，讓自己的音高去配合平均律的音高，而調出自然律的和諧美聲。

不過，這樣作，可能會被「毒舌」評審大大消遣吧？

還有些「毒舌」評審喜歡罵人「節奏不齊」，其實，如果真正作過Midi混音，就會知道，如果把所有聲音對齊，效果非常僵硬、極不自然、接近難聽。當我們身在自然「音場」中，配合各種樂器不同的特性，我們聽起來「以為」整齊的節奏，事實上一定不齊。如何讓物理的不齊、變成美感的齊，其實是一種藝術的琢磨與表現。

所以，我建議「多元學習」，當我們看得廣後，對許多人間現象，應有啞然一笑的開懷。 

Digital Scale, Frequency and Midi

數位音階、頻率與Midi定義

歷史上的音高因為時代、地域而不同，但在現代科技的協助下，終於形成科學標準，也就是 General Midi (GM)標準，使得全球各的音高、音階可以完全相同。

GM 標準包括：Midi 編號、音階、鍵盤位置、與頻率關係如附圖。

Midi 編號

每個號碼代表1個半音，第一欄是白鍵編號，由21至108，第二欄是黑鍵編號。

音名與音階

分作9組「C至B」的8度音程，各組的編號由「0至8」。

但第0組是從A0開始，而第8組只有C8便結束。

鍵盤位置

C4 是同鋼琴鍵盤的「中央C」，左側是大譜表的低音，右側是高音。

音高頻率

數位音樂 Midi 與傳統的定音叉、定音笛相同，以A4為基準音。採用 ISO  ( International Organization for Standardization ) 所依據的「科學定音 Scientific pitch notation ( SPN ) 」方法，將 A4 頻率為訂 440 赫茲 (ISO 16)，使從A0到A9，其音高頻率都是整數。

而「中央C」的 C4 就相當於261.63赫茲。第一欄是白鍵頻率，由27.5至4186.0，第二欄是黑鍵編號。

不過，也有人從「顯波學.波心學」觀念，主張將 A4 頻率為訂 432 赫茲。