第2類知識：生理知識

計量思想與限制

推論統計是一種與人類直覺不同，逆向的思考方法。

許多教科書再把天書（易知簡能），寫成鬼畫符。

創新：常態分配/中央極限定理的逆向思考

逆向思考方法的基礎

在同一母群中抽出之樣本，其平均數應與母群相同。

但樣本不具反身性，其樣本平均數（黑色）與母群平均數（綠色），看起來不一定相同。

但在黃色區域內之樣本平均數，實則與母群相同。

只有當樣本平均數（紅色）與母群平均數的差異大於一定機率（常用為95％，或99％）時，樣本才可能與母群真正不同。

此即神水實驗中，看到的長、不是真正的長；或觀察值不為0，實則為0的推論理由。

創新：以面積分析線性關係

共變數 Covariance

共變數定義公式

有些文獻分母為 N-1，是指小樣本時，應作不偏 (unbiased) 校正。

共變數圖形示例 

以X,Y 兩者平均數為原點,若 (X * Y)之累積和為正，則存在正相關斜線。

若 (X * Y)之累積和為負，則存在負相關斜線。

若 (X * Y)之累積和為0，則存在垂直、或水平直線。

若 (X = Y)，則其累積和為直線之變異數。

共變數同時可導出迴歸分析、與共變模型分析。

創新：第2類迴歸與第1類迴歸的差異

什麼是不同的「思想方法」，對迴歸的認識，就是最好的一個例子。

第1類知識的迴歸，即微積分的最小平方法公式

Y= bX + a

第2類知識的迴歸，即推論統計的相關公式

Y= b₀ + bX + e

b₀ 是常數，e 也是常數，相加後等於常數 a，為何要多此一舉？

「第1類知識」思想的微積分迴歸：肯定理論存在

從「第1類知識」思想立場：先肯定2變項間線性關係理論的存在，而觀察值不盡相符，是因為傳導誤差、或工具測量誤差所形成的，並不是理論的錯誤，所以使用最小平方法的技術，求出迴歸係數的近似值就結束了。

燒開水實驗

在常溫下測試1罐小瓦斯對燒1桶水的水溫產生的影響，得到以下數據：

「第1類知識」思想，會認為以下理論模式成立：

水溫 ﹦5（小瓦斯罐數）+18

雖然實驗數據和公式的預測值並不相符，但「第1類知識」思想，認為不符的原因是罐與桶的容積、實驗時的室溫、測量的精確數字…所造成的，理論並沒有錯誤。

注意：這種思想，必須是在實驗對像具備「反身性、等加性」才可能成立的。只是人類在作類似實驗的時候，經常只是習以為常的進行，並沒有去「思想」，也就是並沒有從「知識論」思考實驗的各種條件。

「第2類知識」思想的統計迴歸：懷疑理論不存在

從「第2類知識」思想立場：樣本看到長、全體不一定長；樣本看到短、全體不一定短、樣本看到不為0，實際可能全體總和就是0。

澆神水實驗

在同樣條件下種植豆芽，比較澆神水和澆普通水，3天長高（公分）的狀況。

「第2類知識」思想卻會指出：雖然實驗數據澆神水的豆芽比澆普通水的長得高，在推論全體時，澆神水和澆普通水效果一樣。

因為豆芽具備生物的常態分配性質，豆芽在第三天高度的常態分配範圍是4.6~ 5.4 公分之間，兩者都在常態範圍內，神水並沒有神效。

注意：這種思想，必須是在實驗對像具備「常態分配性」才可能成立的。對不具常態分配性質的事物，如人類行為，並不一定適用。

所以，從「第2類知識」思想出發：在面對迴歸問題時，先懷疑2變項間線性關係理論不一定存在，而使用最小平方法的技術，一定可以算出1個迴歸係數與1條迴歸直線，而樣本與迴歸線的差異，是理論不正確的真實誤差。統計是「逆向思考法」的工具，亦即要進一步思考檢定：雖然能夠求出迴歸係數的近似值，是否其實迴歸線並不存在？

而表現觀察值與預測值不相符之處，不是因為傳導誤差、或工具測量誤差所形成的；而是真正因為常態分配產生的誤差，所以要加入誤差項。

「第1類知識」的特色思想僅個位數‧「第2類知識」的特色思想超過百個。

限制：常態分配

第2類知識的計量對象，必須具備常態分配性

題外話：部分高考試題，反映有些考官可能分不清楚微積分和推論統計；也未認知不同的對象，應使用不同的計量方法，以及其詮釋應有不同。